Google Search Consoleを使ってみたいなと思い、googleアカウントでログインしてみたらDNSレコードをドメイン所有権を証明しろ!と怒られたので実施しました。筆者はXserverを使用しているのでそちらでの設定方法を紹介していきます。
1.TXTレコードを取得
Google Search Consoleにログインしましょう。するとドメイン所有権を証明しろと怒られます。設定しろと言われているTXTレコードをコピーしておきましょう。

2. TXTレコードの設定
Xserverのサーバーコンソールにログイン し、【DNSレコード設定】を選択しましょう。
DNSレコード設定を開き、対象のGoogle search consoleに設定したいドメインを選択し、【DNSレコード設定】を開きましょう。

【DNSレコード追加】タブを選択します。

種別をTXTにし、内容に手順1で取得したTXTレコードを設定しましょう。
以上で設定され次第、使用できるようになると思います。
※反映に多少ラグがあるので気長に待ちましょう。